Астронет > Размерности и подобие астрофизических величин

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод по каталогу

Размерности и подобие астрофизических величин << § 8.3 Основные параметры Метагалактики | Оглавление | Приложение I. Размерности физических величин >>

§ 8.4 Космологическое начало мира. Изменяются ли мировые постоянные?

Общая теория относительности, в отличие от уравнений Максвелла, математически корректна в окрестностях нуля или бесконечной плотности. Однако при физическом подходе возникают определенные ограничения. При переходе от макроскопических тел в область малых (атомных) масштабов становятся существенными квантовые эффекты, характеризуемые постоянной Планка ħ. Общая теория относительности содержит две другие фундаментальные постоянные G и с. Рассмотрение проблем гравитации в релятивистском приближении и в достаточно малых областях пространства, где важны квантовые эффекты, требует учета всех трех постоянных. Подобная ситуация возникает при рассмотрении двух астрофизических проблем: проблемы начальной стадии расширения Метагалактики и проблемы гравитационного коллапса. Одним из способов решения задачи являются методы размерностей и подобия.

Попробуем оценить характерные значения параметров, при которых в теории гравитации начинают играть роль квантовые явления. Имея три фундаментальные постоянные, G, с, ħ и добавив к ним (для учета тепловых эффектов) также постоянную Больцмана k, мы можем из соображений размерности образовать некоторые первичные единицы массы, длины, времени и температуры. Так, для определения единицы массы имеем матрицу размерности:

$\begin{matrix} \, & [m_0] & [G] & [c] & [\hbar] \\ \mbox{г}&1&-1&0&1 \\ \mbox{см}&0&3&1&2 \\ \mbox{сек}&0&-2&-1&-1 \end{matrix}$

Отсюда следует искомая единица массы, которую иногда называют "максимой"

$m_0 \approx \sqrt{\frac{\hbar c}{G}} \approx 2 \cdot 10^{-5} \mbox{ г}.$ (8.39)

Из матрицы размерности для единицы длины

$\begin{matrix} \, & [l_0] & [G] & [c] & [\hbar] \\ \mbox{г}&0&-1&0&1 \\ \mbox{см}&1&3&1&2 \\ \mbox{сек}&0&-2&-1&-1 \end{matrix}$

находим так называемую планковскую, или гравитационную единицу длины

$l_0 \approx \sqrt{\frac{G\hbar}{c^3}} \approx 10^{-33} \mbox{ см}.$ (8.40)

Матрица размерности для единицы времени имеет вид

$\begin{matrix} \, & [t_0] & [G] & [c] & [\hbar] \\ \mbox{г}&0&-1&0&1 \\ \mbox{см}&0&3&1&2 \\ \mbox{сек}&1&-2&-1&-1 \end{matrix}$

Соответствующая планковская единица времени

$t_0 \approx \sqrt{\frac{G\hbar}{c^5}} \approx 10^{-43} \mbox{ сек}.$ (8.41)

$\begin{matrix} \, & [T] & [G] & [c] & [\hbar] & [k] \\ \mbox{г}&0&-1&0&1&1 \\ \mbox{см}&0&3&1&2&2 \\ \mbox{сек}&0&-2&-1&-1&-2 \\ \mbox{град}&1&0&0&0&-1 \end{matrix}$

Решая соответствующую систему уравнений, находим

$T \approx \frac{1}{k}\sqrt{\frac{\hbar c^5}{G}} \approx 10^{32} \mbox{ град}.$ (8.42)

Кроме первичных, можно построить также вторичные величины, как например, единицу плотности:

$\rho_0 \approx \frac{c^5}{G\hbar} \approx 4 \cdot 10^{93} \mbox{ г} \cdot \mbox{ см}^{-3},$ (8.43)

единицу светимости (мощности):

$L_0 = \frac{m_0 c^2}{t_0} \approx \frac{c^5}{G} \approx 4 \cdot 10^{59} \mbox{ эрг} \cdot \mbox{ сек}^{-1},$ (8.44)

единицу магнитного поля:

$B_0 \approx \sqrt{\frac{c^7}{G^2\hbar}} \approx 10^{56} \mbox{ гс}$ (8.45)

и т. д. Соответствующие матрицы не выписываем, предоставляя сделать это читателю.

Величины (8.39) - (8.41) были впервые введены Планком и получили название планковских единиц. Планк исходил из того, что в основу так называемой естественной системы единиц необходимо положить некоторые характеристики природных процессов, выражаемые естественными масштабами (мировыми постоянными), а не субъективно выбранными эталонами типа метра, грамма и секунды. Существуют и другие, помимо планковских, естественные системы единиц.

Численные значения планковских единиц очень далеки от реально измеряемых в опыте физических и астрофизических величин. Поэтому система планковских единиц для практического употребления не применяется. Однако идеи Планка не исчерпываются рамками определения системы единиц. Значения параметров (8.39) - (8.41) определяют границу применяемости общей теории относительности в малых масштабах. Эти характерные величины есть те пределы, до которых основной объект теории тяготения Эйнштейна, метрику пространства-времени, можно рассматривать в классическом смысле, пренебрегая квантовыми эффектамн - (принципом неопределенности Гейзенберга). Фундаментальность планковских единиц подчеркивает Уилер [16], полагая, что они характеризуют квантовые флуктуации вакуума, определяющие вообще строение материи.

Обсуждая проблемы Метагалактики, нельзя обойти молчанием известный вопрос о больших космологических числах, тесно связанный с соображениями размерности. Поясним существо вопроса.

Определим отношение электрических и гравитационных сил, действующих между протоном и электроном:

$N_1 = \frac{e^2}{Gm_p m_e} = \frac{m_p}{m_e}\frac{\alpha}{\delta} \approx 3 \cdot 10^{39}.$ (8.46)

Эта величина безразмерная, α - постоянная электромагнитного, а δ - постоянная гравитационного взаимодействия. Дирак был первым, кто обратил внимание на то, что отношение характерного радиуса Метагалактики к некоторому характерному радиусу электрона есть величина того же порядка. Если радиус электрона характеризовать комптоновской длиной волны, то

$N_2 = R_{**}:\frac{\hbar}{m_e c} = ct_H:\frac{\hbar}{m_e c} \approx 3 \cdot 10^{39}.$ (8.47)

Имеется еще ряд интересных совпадений. Так, полное число нуклонов в Метагалактике (формула (8.26)). по порядку величины соответствует квадрату полученного выше числа (8.47). Характерное число звезд в индивидуальной Галактике, характерное число галактик в Метагалактике, отношение числа реликтовых фотонов к числу частиц в единице объема - порядка 10¹⁰, что соответствует значению N^¼ (подробнее см. обзоры [17, 18]). Безразмерные отношения (8.46) и (8.47) иногда называют большими космологическими числами.

Кажущаяся связь атомных и космологических констант в условиях переменности таких параметров, как возраст и радиус Метагалактики, побудили Дирака высказать гипотезу о переменности со временем постоянной тяготения

$G \sim t^{-1}.$ (8.48)

При этом совпадения больших космологических чисел будут сохраняться со временем. Дирак считает эти числа некоторыми параметрами новой, еще не созданной теории Вселенной, в которой большие числа должны быть связаны между собой коэффициентами порядка единицы.

Гамов предложил другой вариант изменения мировых постоянных. Чтобы отношение e²/G сохранялось, можно рассмотреть альтернативную гипотезу

$e^2 \sim t.$ (8.49)

В скалярно-тензорной теории тяготения, предложенной Дикке, постоянная тяготения определяется глобальными свойствами Вселенной, что также приводит к выводу о переменности G со временем. К. П. Станюкович [19] считает изменяющимися постоянную тяготения, заряд электрона, постоянную Планка и массу протона

$G \sim t, \quad e^2 \sim \hbar \sim m_p \sim t^{-2}.$ (8.50)

Скорость света постоянна, неизменна также а - постоянная тонкой структуры. Напомним, что в общей теории относительности Эйнштейна все мировые постоянные - истинные константы.

В этой проблеме есть два в значительной степени независимых вопроса: во-первых, меняются ли со временем мировые константы, и, во-вторых, связаны ли атомные и космологические параметры между собой. Начнем с первого вопроса. Изменение со временем мировых постоянных обсуждалось достаточно подробно (см. [17, 18]). Основные результаты сводятся к следующему.

Изменение гравитационной постоянной со временем дало бы эффекты, которые можно было бы проследить на Земле с помощью методов геологии и палеонтологии. В самом деле, структура звезды (Солнца) существенно зависит от постоянной тяготения (светимость в принятой модели Солнца как G⁷). Поэтому изменение светимости Солнца со временем отразилось бы на истории Земли, чего не обнаружено. Второй аргумент связан с небесной механикой - при меняющейся постоянной тяготения менялись бы вековым образом расстояния между планетами.

Радиолокационные наблюдения Луны и планет позволяют определить их расстояния и следить за возможным изменением этих расстояний. В настоящее время принято считать, что расстояния неизменны с точностью, соответ ствующей изменению G не более 4 ⋅ 10^-11 в год [20]. Другой эксперимент связан с определением постоянной тонкой структуры в спектрах удаленных квазаров и радиогалактик. Измерения длин волн дублета О III по сравнению с лабораторным источником показывают, что постоянная тонкой структуры α за время, составляющее 20% хаббловского времени t_H, остается неизменной. Постоянство заряда электрона следует также из геологических и метеоритных данных по радиоактивному распаду.

По-видимому, на основе экспериментальных данных в настоящее время можно сделать довольно уверенный вывод о том, что мировые константы, по крайней мере за характерное время существования Метагалактики, являются постоянными.

Что касается вопроса о связи атомных и космологических параметров, то совпадение двух больших безразмерных чисел (8.46) и (8.47) как будто бы говорит о наличии такой связи. Общепринятого ответа на этот вопрос не существует. Приведем некоторые соображения, связанные с общими принципами размерности и подобия. В обычной земной физике безразмерные комплексы по порядку величины равны единице в том случае, если они составлены из параметров, существенных для данного процесса. Вероятно, можно сказать, что если такой комплекс равен единице, то соответствующий процесс или система находятся в равновесии, поскольку влияние различных факторов, составляющих данный комплекс, взаимно уравновешено.

С этой точки зрения значительное отличие от единицы безразмерных комплексов (8.46) и (8.47) означает, что в них входят параметры, несущественные для данной задачи. В самом деле, малость обратной величины большого числа (8.46), выражающего слабость гравитационных сил по сравнению с электрическими для атома, просто означает, что для системы протон - электрон гравитация несущественна. Мы знаем, что для того, чтобы гравитация преодолела электрические силы, нужно очень большое число частиц. Существование звезд начинается только с достаточно больших масс; в этом случае одно большое число компенсируется другим большим числом.

Естественно задаться вопросом, можно ли подобрать такие значения параметров, при которых отношение гравитационных сил к электрическим было бы по порядку величины близко к единице? Ответ очевиден: это имеет место при значениях параметров, близких к планковским единицам. Согласно [16] плотности различных видов энергии на планковских длинах сравнимы. Именно планковские единицы определяют тот уровень, на котором характерное значение безразмерного комплекса (8.46) близко к единице. Это не уровень элементарных частиц и тем более не космологический уровень.

Разумеется, соображения подобия вряд ли исчерпывают существо задачи, однако, если они справедливы (а авторы на протяжении всей книги старались показать их важность в самых разнообразных разделах астрофизики), тогда, по-видимому, мы можем думать, что совпадения больших безразмерных чисел в космологии и микрофизике в значительной степени случайны. Нет необходимости в построении специальной теории, связывающей современные космологические величины с атомными параметрами.

<< § 8.3 Основные параметры Метагалактики | Оглавление | Приложение I. Размерности физических величин >>

Мнения читателей [4]

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце